【轉發(fā)說明】

本文為 北大附中退休數學教師王鵬遠老師為紀念中國計算機輔助教學領路人、畢生致力于用信息化推動教育變革的 北京大學 林建祥先生所寫的一篇文章。

王鵬遠老師在國內是最早一批研究計算機輔助數學教學、并長期開展一線教學實踐的數學教育技術研究者、實踐者，在MathTool、《幾何畫板》、《超級畫板》等數學工具如何在教學中應用大量、深入的研究，著有 《如何用幾何畫板教數學》、《少年數學實驗》等多本著作。

(相關資料圖)

我在剛開始工作時，就與林建祥先生、王鵬遠老師有很多交流，直到林先生千古之前的兩年，我還和王鵬遠老師到林先生家看望，留下了我與林先生的最后一張合影（中為林建祥先生，左為王鵬遠老師，右圖為我）。

前日王鵬遠老師向我發(fā)來他的這篇紀念文章，特在我的公眾號轉發(fā)，共同緬懷林建祥老先生。如您也與林建祥先生有所交集，歡迎文后留言，共同奠念！

以下為王鵬遠老師所撰寫的原文。

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林先生走了，但他和善的音容笑貌總是揮之不去，不時浮現在眼前。他對教育事業(yè)的忠誠與執(zhí)著追求，他對人們的熱情相助平易近人的品格永遠銘刻在我們的記憶之中。

我與林先生是1990年相識的，是他把我這樣一個計算機的門外漢，一個普通的中學數學教師領進門，開啟了30多年計算機與數學學科整合的實踐探索，30多年以來，林先生一直給我以熱情的指導、鼓勵和支持，我的點滴進步與取得的成績是與林先生分不開的。

教育信息化是我國21世紀教育改革的一個重大工程，而信息技術與學科教學的有效融合又是其中一個十分重要的課題，從這個角度看，林先生與他領導的北大CAI研究室應該被視為信息技術與數學學科整合的開拓者和領路人。如果追述這個領域的源頭，作為親歷者，我以為應該從Mathtool談起，現在沒有人再提起它（或許根本不知道曾有這個工具軟件）。

還是在1990 年，北京大學電教中心的林建祥 和朱萬森 教授第一次給我們中學老師展示了計算機課件。我們第一次看到了二次函數圖像如何隨系數的變化而變化，第一次聽到 CAI ( 計算機輔助教學) 這個名詞，眼界一下子打開了。接著我們寫腳本由北大的老師幫助我們制作課件，不久, 我們也可以借助Mathtool 自己制作一些簡單的課件了。

Mathtool拉近了一線數學教師與計算機的距離，教師無需編程可以借助于這個工具自己開發(fā)課件。這件事意義重大、影響深遠，它陸續(xù)把越來越多的一線數學教師帶入到這個領域，成為信息技術與學科整合的主力軍。教師可以根據教學的需要把信息技術引入課堂，取得良好的教學效果。

我還記得第一個用Mathtool開發(fā)的課件是“ 冪函數的圖像和性質”（如下圖），針對的是教學的難點，學生不容易理解冪函數中對冪函數的圖像和性質的影響， 整理不出規(guī)律。

計算機準確快速的畫圖大大提高了課堂效率，同時圖像的動態(tài)顯示直觀揭示了冪函數的性質，取得了滿意的教學效果，深受學生歡迎。

當然，信息技術與數學學科的整合不是一帆風順的，其中一個爭論不休的問題是 如何處理數學的抽象，記得 93年一天中午回家的路上，林先生和我討論這個問題，林先生說，就是在北大，一些數學系的教授也不贊成在教學中使用計算機，理由是數學是高度抽象的學科，計算機在這里起不了什么積極作用。我與林先生取得的共識是，不妨先擱置爭論做起來再說，也許通過一段教學實踐返回來討論會對爭論的問題有進一步的認識，一個原則是計算機應能有助于加深學生的數學思考，幫助學生理解抽象的數學概念。

當時我正在教高二，需要講解數列的極限。于是設計了腳本，利用Mathtool 開發(fā)出課件“ 數列的極限”，隨后在北京大學電教中心網絡教室進行了教學實驗。實踐表明，學生通過使用這個課件理解了數列極限的 “ε-N”定義，取得了意想不到的好的教學效果。

數列極限的“ε-N”定義是公認的教學難點，但現在 借助計算機這個困難居然被克服了。這給了我們極大的鼓舞。 我們在1994 年12 期“數學通報”上發(fā)表了 《從教學軟件“數列的極限”引發(fā)的思考》一文中談了我們的體會。這是國內在學術期刊上第一次討論計算機在數學教學中如何處理抽象的數學概念的文章。

這個軟件的使用效果給我們的啟發(fā)是深刻的。它說明計算機能夠改善數學概念的教學，我們的體會是：

1、通過電腦“一對一 ”的教學，實現教學的個別化 ，一改過去學生“聽老師講”，過分依賴教師的語言去思考的學習方式。學生可以根據適合自己的節(jié)奏主動閱讀和思考。課件相當于教師的代言人，在和每一位同學進行“一對一”的交流，而學生在教師借助電腦設計的更富有啟發(fā)性的教學情境中直接去思考數學事實本身。學生在這里動手、動腦、觀察、思考、閱讀、討論、質疑，其學習內容和思維活動比傳統(tǒng)課堂要豐富得多。教師通過計算機調動了所有學生的積極參與，自己去想通極限的概念。

2、 設置問題情境并提供生動直觀的背景材料，“可視化”有助于抽象概念的理解

數學離不開抽象，而抽象是個復雜的思維過程。離開具體的抽象，只能使數學概念成為空洞的文字與數學符號的組合，越是抽象的概念越要從最現實的問題出發(fā)，越需要感性直觀的背景材料幫助理解，數列極限的概念也是這樣。

為讓學生理解無限制地靠近常數A，我們讓計算機一個一個地在數軸上顯示對應前幾個點，當這些點與表示常數A的點足夠近時，屏幕上有這樣一句話“隨著n的增加，這一系列點與表示常數A的點足夠靠近，以至于我們不得不用放大鏡觀察”，隨后屏幕出現一個模擬的 放大鏡把數軸的這一部分局部放大，繼續(xù)反映 逼近常數A的過程。于是學生就可以通過一系列的數字和點列“看到”數列趨向某一常數的過程。計算機的可視化與快速計算功能顯示出了特有的優(yōu)勢。

3、創(chuàng)設人機交互的數學實驗環(huán)境

在通過直觀形象的例子初步建立數列極限的概念之后，難點在于如何理解形式化表達的數列極限定義中的“對于事先給定的無論多么小的正數ε，都存在一個正整數N，當時不等式恒能成立。”在傳統(tǒng)課堂上，我們通常令ε=0.1、 0.01等等，很難體現 ε的任意性。利用計算機則可以輸入任意小的整數得到相應的 N和隨后的幾項的數值。

我們安排了以下一個練習題：

除了在計算機屏幕上呈現這個數列的前10項并在數軸上描出表示這10項的點外，屏幕上還提示學生做下面的實驗；“請鍵入你認為很小的正數ε并觀察相應的N，以及N以后五項與的誤差。”于是學生可以自由地做實驗，直到他們認可了對于事先給定的無論多么小的正數ε，都存在一個正整數N，第

例如學生在鍵入了ε=0.007564后，屏幕馬上呈現下面的表 (N=32)

在這以后學生可以根據自己的需要在屏幕上看到嚴格的證明過程。連續(xù)三年在我的教學中使用了這個課件都取得了良好的效果。

這個課件的設計得到了林先生的指導， 他提出借助計算機創(chuàng)設“微世界”以及數學實驗的環(huán)境給了我設計的靈感。

1994 年，實驗開始擴大，在原教育部中小學計算機教育研究中心（北京部）的支持下由海淀區(qū)四所學校成立了海淀數學CAI課題組。這個課題組的活動內容包括由朱萬森教授教會教師Mathtool的技術操作，輪流組織研究課相互交流。

當時北京大學的林建祥教授、北京師范大學的鐘善基教授、教育部中小學計算機教育研究中心（北京部）副主任唐玲老師等專家都親臨課堂聽課，具體指導，與老師們面對面地討論。我們走的是一條密切結合學科教學關注教學實效之路，是一條由專家引領一線教師積極參與之路。下圖是林先生深入課堂觀摩教學后進行點評的照片。

技術在飛速地進步，1995 年“ 幾何畫板”軟件引入我國，它把動態(tài)幾何引入了數學教學，我們課題組在全國率先進行了這一工具軟件的實驗，在此基礎上 98 年編寫了 《如何用幾何畫板教數學》一書由人民教育出版社出版。林先生看到了這一工具的優(yōu)勢大力宣傳這一工具軟件并繼續(xù)支持我們的實驗。

這里值得一提的是林先生敏銳地注意到我國數學家吳文俊院士在幾何定理的機器證明方面開創(chuàng)性的工作，以及隨后張景中院士在機器證明可視化方面的創(chuàng)新，把我介紹給張景中院士，這樣我得以在2000 年之后的20 年間協(xié)助張院士推廣國產軟件 “超級畫板”。

我們的工作受到有關方面的關注，98年我受邀在教育電視臺開辦講座對教師進行培訓，下圖是林先生和我共同參與講座的照片，討論信息技術如何能與學科教學進行有效整合。

林先生思想敏銳，視野開闊，從Mathtool到幾何畫板，再到超級畫板和網絡畫板以及人工智能，他總是追蹤技術發(fā)展的前沿，及時給我們提供最新信息，不時打電話了解我們工作的進展，給我們提供盡可能的幫助。例如，他促使惠普公司一次無償給北大附中提供50多臺圖形計算器，希望我們學校做出成績。

林先生活到老，學到老、奮斗到老，他把一生貢獻給他摯愛的教育事業(yè)。我永遠不能忘記他90多歲高齡，還積極參加學術會議，把我們邀請到家中與我們進行一次次學術探討。他的人格魅力永遠是我們學習的榜樣。

林先生走了，他給我們留下了豐富的精神遺產。林先生千古！