全等三角形的性質

【資料圖】

對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等。

尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：

（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊。

（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角。

（3）有公共邊的，公共邊常是對應邊。

（4）有公共角的，公共角常是對應角。

（5）有對頂角的，對頂角常是對應角。

（6）兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊（或最大角）是對應邊（或對應角），一對最短邊（或最小角）是對應邊（或對應角）。

【解題關鍵】要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵。

全等三角形的判定方法

（1）邊角邊定理（SAS）：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。

（2）角邊角定理（ASA）：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。

（3）邊邊邊定理（SSS）：三邊對應相等的兩個三角形全等。

（4）角角邊定理（AAS）：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。

（5）斜邊、直角邊定理（HL）：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。

全等三形的應用

運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線。

【拓展】通過判定兩個三角形全等，可證明兩條線段間的位置關系和大小關系。而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎。

找全等三角形的方法

（1）可以從結論出發，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；

（3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；

（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。

三角形中常見輔助線的作法

①延長中線構造全等三角形；

②利用翻折，構造全等三角形；

③引平行線構造全等三角形；

④作連線構造等腰三角形。

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

【 例1】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

【 題意分析】本題考查“等腰三角形的三線合一”定理的應用。

【 解題思路】要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和“等腰三角形的三線合一”定理結合起來。

【 解答過程】

【 點撥】等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在添加輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯系，為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數學思想，它是解決問題的關鍵。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

【 例2】如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：△ABC是等腰三角形。

【 題意分析】本題考查全等三角形常見輔助線的知識。

【 解題思路】在證明三角形的問題中，特別要注意題目中出現的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了“AD又是BC邊上的中線”這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。

【 解答過程】

【 點撥】題目中如果出現了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

【 例3】已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB， AB＞AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

【 題意分析】本題考查角平分線定理的應用。

【 解題思路】因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

【 解答過程】

【 點撥】

①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線：

②見中點即聯想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”。

【 例4】如圖，△ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF，求證：DE=DF。

【 題意分析】本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

【 解題思路】因為DE、DF所在的兩個三角形△DEB與△DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換。過E作EG//CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。

【 解答過程】

【 點撥】此題的輔助線還有以下幾種作法：

【 歸納】添加輔助線的目的在于構造全等三角形，而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的。不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形。

（5）截長法與補短法：具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

【 例5】如圖甲，AD// BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE= ∠ECB。求證：CD=AD+BC。

【 題意分析】本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。

【 解題思路】結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

【 解答過程】

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

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