各位同學們大家好！我是李永樂老師。
之前我做了兩個系列節目：《漫談相對論》和《從亞里士多德到牛頓的宇宙》，我想，第三個系列節目就換換口味，講講數學的一個小分支，在經濟學上又很有用的學問——博弈論吧。
我在北大讀書時，學過一點經濟學，但是沒有系統學習過博弈論這門課。今天所講的都是我個人對博弈論的理解，如果有不準確的地方，歡迎大家批評指正。在這個系列中，我把之前零零散散講過的博弈論內容進行了總結，希望大家喜歡我的講述。
(資料圖片僅供參考)
“弈”這個字，原本意思是下棋。請問各位同學，你會下棋嗎？你下棋輸過嗎？如果我說，圍棋也好，象棋也好，其實都是有必勝法的，你們相信嗎？
我們假設有一個非常簡單的游戲，先手A和后手B各做一次決策（選擇上路或者下路），根據二人決策的結果，游戲的勝負如下。通過這個表格，你能知道游戲的結果是誰獲勝嗎？
也許有同學認為：A的贏面大一些，因為A有2種可能會贏，而B只有一種可能會贏。事實并非如此。這盤棋的結果一定是和棋（除非有一方實在腦子不太好用，才會輸掉）。
我們可以畫一個游戲樹來解釋：
我們看：如果先手A選擇上方，游戲進入到一個由進行B進行決策的分支，這叫做一個子游戲。在這個子游戲中，B選上方就A獲勝，B選下方就B獲勝，B要選擇對自己有利的，所以他一定選擇下方。這個子游戲的結局是固定的，就是B獲勝。
如果先手A選擇下方，游戲進入到另一個由B做決策的子游戲中，這時B選上方就A獲勝，B選下方就和棋，B要選擇對自己有利的，所以這個子游戲的結局一定是和棋。
我們再來考慮A：若A走上方，進入子游戲1，一定B獲勝；A走下方，進入子游戲2，一定和棋。A也要選擇對自己有利的，所以A選擇下方。最終的游戲就是和棋。
如果游戲復雜一些，也不過是分支變多，長度變長，但是只要我們從最后端的子游戲開始，一層層倒推，就一定能推算出在最優策略下，游戲到底是先手勝，還是后手勝，還是和棋，這種勝負是不可避免的。
其實，象棋也好，圍棋也好，它們與我剛才舉的例子沒有本質不同，只是復雜度高得多。而且，由于制定了一些勝負以及和棋規則，下棋的步驟也是有限的。
理論上講，我們是可以畫出圍棋的游戲樹的，如果我們遍歷了所有情況，就能知道圍棋結局到底是先手必勝，還是后手必勝，或者一定是和棋了。只是，這個過程過于復雜。
以圍棋為例。圍棋在19x19=361個格子上輪流放棋子，所以每個格子有黑白空三種可能，整個圍棋棋盤上的狀態數上限是3361=1.7×10172，去掉一些重復和對稱，圍棋的狀態復雜度大約是10172量級。
要知道：宇宙中的原子個數只有大約1072個，就算用宇宙中的一個原子代表一個圍棋局面，窮盡宇宙中所有的原子，也不能表示出圍棋所有的棋局局面。
圍棋的游戲樹就更難畫了。因為圍棋可以提子，有了空白的地方可以繼續下，所以并不一定是填滿了棋盤就結束。不過，我們可以估計游戲樹的總層數和每一層的平均分支。根據統計和計算：一盤圍棋的平均手數是150手，每一手的平均分支數是250種，所以整個圍棋的游戲樹復雜度大約是250150≈10360。
理論上講，如果我們遍歷了所有10360種情況，就能知道圍棋結局到底是先手必勝，還是后手必勝，或者一定是和棋了。但是，這個計算量實在太大了。之前世界上最快的計算機富岳每秒最高可以計算100億億次浮點運算，假如1次浮點運算就能算出一條路徑，那么算完所有圍棋游戲的可能情況，需要10342秒，而宇宙的年齡只有138億年，大約只等于1017秒。
雖然我們無法計算出這個最優策略，但是顯然，這個最優策略一定是存在的。
不僅僅是圍棋，所有的明棋都是這樣，只不過復雜度不同而已。
1913年，數學家策梅洛證明：對于一個兩人的完全信息游戲，一定存在一個策略，要么先手一定獲勝，要么后手一定獲勝，要么雙方一定平局，這就是澤梅洛定理。
策梅洛
策梅洛定理告訴我們：假設雙方都是棋類大師，對游戲樹了如指掌，這時候他們一定會采用統一的策略，讓游戲向固定的方向發展，最終的結局也是固定的。
因為，任何一個人單方面的改變決策，都會對自己不利。正如我們剛才舉例的那個小游戲，如果A改變決策，將會讓B獲勝；如果B改變決策，將會讓A獲勝，雙方都為了自己的利益考慮，一定會出現A選擇下路，B也選擇下路的情況，最后游戲就一定是和棋。
實際上，在許多的博弈過程，都和下棋很像，參與博弈的幾方能采取的策略都是有限的。在1950年，著名的數學家約翰納什證明了一個更加普遍的結論：
只要參與博弈的幾方策略都是有限的，那么就一定存在一種平衡狀態，大家都會采用這種平衡策略，而沒有單方面改變策略的動力。這種平衡狀態就叫做納什均衡。這個規律就叫做納什定理。
剛才舉的下棋的例子，最優策略就是納什均衡，策梅洛定理其實是納什定理的一個例子。在我們所處的世界中，無論是政治還是經濟，都充滿了博弈論和納什均衡的例子。你想了解更多嗎？關注我，下一回繼續帶大家漫談博弈論。
